Mécs Anna - Sokdimenziós történetek

Vannak sokdimenziós emberek. Lételemük, hogy egyszerre tartoznak sok helyre, és egyszerre kívülállók is mindenhol. Szeretik sok oldalról megvizsgálni a kérdéseket. Ezeket az embereket és történeteiket szeretném itt megmutatni.

Schwarzi és a matematika

A szépségért megéri izzadni

 

Mécs Anna

Megjelent: Tétékás Nyúz, 2009. november 18.

 

Mielőtt bárki rosszra gondolna, leszögezem, hogy a matematika szépségeiről lesz szó. Izzadságszag, Schwarzenegger – mind szóba kerültek november 12-én a Szépség a matematikában című eszmecserén. Katona Gyula, Kosztolányi József és Lovász László kápráztatta el szürkeállományunk.

 

Lovász László a Kossuth rádió Esti beszélgetés tudományról című műsorában így vezette fel a csütörtöki előadásokat: „A matematika nem áll távol az esztétikától. Egy matematikai eredménynek jellemzően a legfőbb jelzője az, hogy szép. Ez mindent elmond róla. Azt próbáljuk majd megmutatni, hogy mit nevezünk szépnek, és ez a szépség honnan jön. A tudomány nagyon gyakran az emberek számára úgy jelenik meg, hogy valami megfoghatatlan, távoli dolog, amihez nekik semmi közük. Én azt hiszem, hogy ez ellen érvelni kell, hiszen a tudománynak megvan a maga mondanivalója minden kor embere számára.”

Az Akadémia kisterme tele volt, még az ajtóban is rengetegen álltak, rácáfolva Katona Gyulára, aki 20-30 embernél nem mert többen reménykedni. Sok középiskolás is végighallgatta mindhárom előadót. A nagy érdeklődés alátámasztotta Lovász László szavait.

 

A Magyar Tudományos Akadémia (MTA) novemberben szélesre tárta kapuit: országszerte rengeteg programmal vár mindenkit a Magyar Tudomány Ünnepe rendezvénysorozat keretein belül. A matematikai szépségekről az Akadémia székházában hallgattunk meg három előadást, először Kosztolányi József, a Szegedi Tudományegyetem egyetemi docense, utána Katona Gyula az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet volt igazgatója és végül Lovász László az ELTE TTK Matematikai Intézet igazgatója mesélt kicsiknek és nagyoknak.

 

Mi a szépség?

Abban mindhárom matematikus egyetértett, hogy a szépség szubjektív kategória. Kosztolányi József a 20. századi magyar matematika egyik neves személyiségét, Rényi Alfrédot is idézte előadásában: „Jellemző például, hogy egy matematikai bizonyítással kapcsolatban a leggyakrabban használt elismerő jelzők azok, hogy ’szép’, ’elegáns’; matematikai elméletekkel kapcsolatban a hozzáértők gyakran beszélnek az elmélet belső ’harmóniájáról’ stb. Hangsúlyozni szeretném ezzel kapcsolatban, hogy itt jóval többről van szó, mint pusztán a matematikusok lelkesedéséről tudományuk iránt: a matematikában a forma és a tartalom objektíve elválaszthatatlanok, a matematikai elméletek formai tökélye és igazságtartalma, tudományos és gyakorlati jelentősége közötti korreláció – bárhogyan is magyarázzuk – kétségtelen tapasztalati tény.”

Katona Gyula humorosan közelítette meg a kérdést. Előadása a Néhány magyar szépség címet viselte. A dolog adta magát: egy népviseletbe öltözött asszony jelent meg a kivetítőn a múlt század elejéről. A tetszés nem maradt el. „Ennél azért fiatalabbra gondoltam.” – mondta. Ekkor Karády Katalin tűnt fel a vásznon. „Még fiatalabbra!” – így eljutottunk egy tengerparton fekvő bikinis nőhöz.

 

Nyúlszaporítás

Tegyük fel, hogy egy mezõn él egy újszülött nyúl pár, egy hím és egy nőstény. A nyulak egy hónapos korukra lesznek ivarérettek, így a második hónap végén már megszülethetnek az elsõ kicsinyek. Valamint azt is tegyük fel, hogy a mi nyulaink soha nem halnak meg és hogy a nőstények mindig új párt ellenek ( 1 hímet és 1 nőstényt) minden hónapban, a második hónaptól kezdve. Fibonacci felvetése sokak számára ismerős lehet. Kosztolányi József egy érdekes ábrázolást mutatott:

ha spirálisan rajzolunk egyre nagyobb négyzeteket, melyeknek oldalhossza sorra az egymást követő Fibonacci-számok, akkor több felfedezést is tehetünk. Egyrészt e számok négyzetösszege a n-edik tagig megegyezik az n-edik és az n+1-dik tag szorzatával. Másrészt, ha bejelöljük a négyzetek középpontjait és összekötjük a páratlan sorszámú négyzetekhez tartozókat egymással, illetve a páros sorszámúakat egymással, akkor azt vehetjük észre, hogy ez a két egyenes merőleges egymásra. De ezek a „nyulak” még mást is tudnak: egymást követő tagjainak hányadosából képzett sorozat határértéke éppen az aranymetszés aránya.

 

Egy „megközelíthetetlen” szépség

Kosztolányi József a megközelíthetetlen jelzővel a szögharmadolást illette. Ugyanis euklideszi szerkesztéssel – azaz egyélű vonalzó és körző használatával – nem tudunk szöget harmadolni. Persze ez nem tántorította el a matematikusokat a vizsgálódástól. Frank Morley, a 19-20. század fordulóján jeleskedő angol matematikus, a következő tételt fogalmazta meg:

bármely háromszögben a szögharmadolók három metszéspontja szabályos háromszöget határoz meg. Az előadó John Conway, princetoni kutató bizonyítását mutatta be nekünk, aki hét ügyesen megválasztott háromszög segítségével látta be az állítást. A „kalapból nyuszi” érzés mindenkiben megfogalmazódott, mint a legtöbb szép matematikai bizonyítás esetében. Hogy jutott eszébe? Miért pont ezeket a háromszögeket határozta meg? Kosztolányi József így fogalmazott: „Általában az első bizonyítás izzadságszagú. Ha azt már ismerik, utána jön a szép. De ha valaki már előre látja a szépséget, akkor hajlandó lesz az izzadságszagú apró munkára.”

 

Magyar szépségek

Katona Gyula a gráfokat emberi kapcsolatokon keresztül szemléltette: a csúcsok a személyek voltak, amelyeket akkor kötött össze, ha kedvelik egymást. Például Ferenc és Viktor között nem húzódott él, hiszen ők nincsenek jóban…A leggyakrabban az ismeretség alapján rajzolható gráf jut az ember eszébe. Karinthy már az 1929-ben megjelent Láncszemek című novellájában ma is aktuális kérdéseket feszeget: hány ember, azaz láncszem segítségével tudunk két véletlenül kiválasztott embert összekötni. A színészek között is vizsgálhatunk ilyet: akkor van kapcsolat közöttük, ha játszottak közös filmben. Katona Gyula Karinthy igazságát igazolva bemutatta, hogy Arnold Schwarzeneggerhez két emberen keresztül eljutna az Erdősről szóló dokumentumfilmnek köszönhetően. Igazi világsztárral volt dolgunk.

A véletlen gráfok alatt, ahogy a neve is jelzi, n pont között „véletlenül behúzott” élek által meghatározott gráfokat értünk. Először 50 éve, Erdős és Rényi írtak ezekről, mert bármily megdöbbentő, mégis felfedezhető némi szabályosság. Természetesen biztosat nem állíthatunk, de belátható, hogy ha a csúcsok felénél több él szerepel a gráfban, akkor nagy valószínűséggel lesz kör benne. Illetve az összefüggőségre is megadható egy logaritmust felhasználó képlet.

Azt már tudhattuk, hogy a sakk és a matematika nem idegenkednek egymástól. Ám  Katona Gyula megmutatta, hogy a körmérkőzések szervezése sem áll távol a matematikától.

Egy szabályos ötszög csúcsait és annak középpontját tekintsük a játékosoknak és az ábrán látható módon párosítsuk őket (az egyenes vonalak szerint)! Ha utána az ábrát az óra járásának megfelelő irányba elforgatjuk 72º-kal, azaz a csúcsokat a mellette lévő csúcsokba „visszük”, akkor a szaggatott vonalakba kerültek az eredetiek. Ezt a forgatást négyszer megismételve minden lehetséges párosítást megkapunk úgy, hogy senki nem játszott kétszer ugyanazzal az emberrel.

 

 

Szép gráfok és közlekedési dugók

Lovász László Tutte, a gráfelmélet atyja egyik cikke alapján mutatta meg, hogy hogyan rajzolhatunk szépen gráfokat. Ha az éleket gumiszalagoknak tekintjük, amelyek megpróbálnak a lehető legjobban összehúzódni, és bizonyos éleket leszögezünk, akkor különleges ábrákat kaphatunk.

Például a dodekaéder esetében, ha az ábrán látható külső csúcsokat leszögezzük, akkor egy ilyen, szabályos és különleges gráfként ábrázolhatjuk.

Az egyik program bezárásánál Lovász László kisebb akadályba ütközött, amikor is a Windows hibajelentés küldéséről kérdezte meg a matematikust. „Nem zaklatom ezzel a Microsoftot!” felkiáltással kinyomta a kérdést Lovász, aki hét évig volt Bill Gates vállalatának tudományos kutatója. Az úthálózatok vizsgálata sem áll távol a gráfelmélettől. Lovász négyzetrácson szemléltetett egy úthálózatot, amelyen pirossal a nyugat-kelet, kékkel az észak-dél irányba haladó autókat jelölte. Egy-egy lépésnél az az autó haladt, amelyik a kereszteződésben előre tudott lépni egyet. Sokáig úgy gondolták, hogy egy ilyen rendszerben vagy közlekedési káosz alakul ki, vagy hullámszerűen folyamatosan lehet közlekedni. Ezt a következtetést 20x20-as és 30x30-as hálózatok vizsgálatából vonták le. Viszont egy, a Microsoftnál dolgozó fiatal nőt nem hagyta nyugodni a kérdés: 512x512-es úthálózatot kezdett elemezni. Sokak meglepetésére talált egy harmadik lehetőséget: bizonyos helyeken ferde határok mentén összetorlódnak az autók és átaraszolnak egymáson. Ezek a helyek szabályosan helyezkednek el.

 

Végezetül Erdősről egy apróság: a szép bizonyításokat, amelyeknél valamiféle földöntúli, transzcendens erőt érez az ember – már aki érzi –, Erdős A könyvbe valónak hívta. Kitüntető figyelmet szentelt minden gyönyörű matematikai bizonyításnak, különösképpen, ha fiatal "epszilonok" leltek rá.

 

A bejegyzés trackback címe:

https://csanna.blog.hu/api/trackback/id/tr741533275

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben és az adatvédelmi tájékoztatóban.

Nincsenek hozzászólások.

Sokdimenziós történetek

Vannak sokdimenziós emberek. Lételemük, hogy egyszerre tartoznak sok helyre, és egyszerre kívülállók is mindenhol. Szeretik sok oldalról megvizsgálni a kérdéseket. Ezeket az embereket és történeteiket szeretném itt megmutatni. Ez a blog azoknak szól, akik nem csak egydimenziósak.

süti beállítások módosítása