Mécs Anna - Sokdimenziós történetek

PRÍMSZÁMREJTÉLYEK

Átszőtték a száz éve született Erdős Pál pályafutását a prímszámokkal kapcsolatos problémák, amelyek egy részének megoldásához az utóbbi években kerültek közelebb.

Megjelent: HVG, 2013. július 10.
Szerző: Mécs Anna

„Amióta tízéves korában édesapja bebizonyította neki, hogy bármekkora lehet a távolság két egymást követő prímszám között, Erdőst elbűvölte e számok rendezett rendezetlensége. A prímszámok oázisai szinte véletlenszerűen vannak elszórva az összetett számok sivatagában.” Ekképp vezette le Bruce Schechter 1998-ban, két évvel Erdős Pál halála után az Agyam nyitva áll! című könyvben, hogy honnan eredt a világhírű magyar matematikus megkülönböztetett figyelme a prímszámok iránt. Való igaz, Erdőst lenyűgözte, hogy rengeteg nyitott kérdés kapcsolódik a prímszámokhoz, vagyis azokhoz az egynél nagyobb egész számokhoz, amelyek csak eggyel és önmagukkal oszthatók, és amelyek összeszorzásából „keletkezik” az összes többi, úgynevezett összetett szám. Mint előszeretettel mondogatta: „csecsemők is tudnak olyat kérdezni, amire a felnőttek sem tudják a választ.”

Erdős Pál, forrás: http://www.omikk.bme.hu/archivum/angol/htm/erdos_p.htm

Különösen két irány foglalkoztatta a matematika királynőjének is nevezett számelméleten belül a születése századik évfordulóján a Magyar Tudományos Akadémián múlt héten nemzetközi kongresszussal megtisztelt Erdőst – magyarázza Ben Green brit matematikus, a konferencia egyik előadója. Egyrészt a prímszámok összeadásával kapcsolatos felvetések, másrészt pedig a prímszámok eloszlásával, struktúrájával, feltételezett rendszerével kapcsolatos kérdések. „Mi próbálkoztunk mindkét területen, de ez utóbbiban csekély sikerrel” – teszi hozzá szerényen a kongresszuson szintén előadó, kínai szülőktől származó ausztrál–amerikai Terence Tao, az egyik legrangosabb matematikai díj, a Fields-érem kitüntetettje.

Az összeadással kapcsolatos problémák közé tartozik például az a kérdés, hogy legfeljebb milyen hosszú lehet egy csupa prímszámból álló számtani sorozat – azaz számok olyan sora, amelyben a két szomszédos tag különbsége mindig ugyanannyi. Azt, hogy háromtagúból végtelen sok van – például a 3, 5, 7 –, már 1939-ben Johannes van der Corput holland matematikus bebizonyította. Arra viszont még több mint 70 évet kellett várni, hogy igazolják: prímszámokból bármilyen hosszúságú számtani sorozat is lehetséges. Szükség volt ehhez Szemerédi Endre áttörő eredményére. Ő 1975-ben talált megoldást Erdős és Turán Pál négy évtizeddel korábbi sejtésére, miszerint „a természetes számok egy pozitív sűrűségű részhalmazában van tetszőleges hosszú számtani sorozat”, magyarán: ha elég sok szomszédos számból választunk ki egy nem sokkal kisebb halmazt, abban lehet találni olyan elemeket, amelyek számtani sorozatot alkotnak. Szemerédi egyebek mellett ezzel érdemelte ki tavaly a matematikai Nobelként is emlegetett Abel-díjat. Azóta ezt a megoldást felhasználva számtalan kutató állt elő új elméletekkel, Tao (az Abel-bizottság egyik jelenlegi tagja) és Green pedig Szemerédi nyomán kilenc éve közösen bizonyította, hogy a prímszámok között is találhatók tetszőleges – de nem végtelen – hosszúságú sorozatok. A ma már róluk elnevezett tétel bizonyítása olyan váratlan volt – mint mondták –, hogy ők maguk lepődtek meg rajta a legjobban.

Erdős Pál és a még gyermek Terence Tao, forrás: http://graviton.co.in/2013/07/17/terence-tao-the-mozart-of-mathematics/

Egy több száz éves „összeadós” prímszámproblémában is sikerült tavaly előrelépni. Christian Goldbach porosz matematikus 1742-ben svájci pályatársához, Leonhard Eulerhez írt levelének margójára jegyezte fel azt a sejtését, hogy minden kettőnél nagyobb páros szám előállítható két prímszám összegeként, minden ötnél nagyobb páratlan szám pedig maximum három prímszám összegeként. A már René Descartes által is megfogalmazott felvetés második részének bizonyítását idén jelentette be Harald Helfgott perui matematikus. A levezetés ellenőrzése jelenleg is tart.

Az ilyen típusú problémáknál is jobban izgatták azonban Erdőst, hogy miként helyezkednek el a prímszámok az egész számok között. Carl Friedrich Gauss német matematikus például már a XIX. században megfigyelte, hogy miközben a száznál kisebb számoknak a negyede, az ezernél kisebbeknek pedig a 17 százaléka prímszám, az első egymillió számnak csak nagyjából a 8 százaléka az. Gauss ezek alapján megbecsülte, hogy adott értékig hány prímszám lehet, ám igazolni nem tudta. Sejtését nevezik ma prímszámtételnek, amelyet először 1896-ban bizonyítottak. A gond csak az, hogy Jacques Hadamard francia és Charles Jean de la Vallée-Poussin belga matematikusok ehhez komplex számokat is felhasználtak, ami – fogalmaz Tao – még a szakmabeliek számára is „olyan volt, mint valami varázslat”. Utóbbiak ugyanis az iskolában tanult úgynevezett valós számokból és olyan, elképzelt számok összegéből állnak, amelyek a mínusz 1 négyzetgyökének a többszörösei. Mivel azonban negatív számokból a valós számkörben nem lehet négyzetgyököt vonni, a matematikusok próbáltak egy olyan bizonyítást is találni, amely nem komplex számokkal dolgozik.

A sors különös fintora, hogy bár 1949-ben sikerült egy ilyen megoldásra bukkanni, ez lett Erdős pályájának legfájóbb és legvitatottabb momentuma. Történt, hogy Atle Selberg norvég matematikus – aki egy másik, prímszámokkal kapcsolatos tétel bizonyításán dolgozott – ismertette megoldását Turán Pállal, aki mások mellett elmesélte azt jó barátjának és munkatársának, Erdősnek is. Utóbbi rájött, hogy a bizonyítás egy részletéből levezethető egy közbeeső tétel, amellyel elérhető lesz a prímszámtétel komplex számok nélküli bizonyítása. Bár Selberg – máig nem teljesen tisztázott okokból – igyekezett eltéríteni Erdőst ettől a továbblépéstől, nem járt sikerrel – és ennek alapján a norvég végül meg is oldotta a sok évtizedes problémát. „Erdős boldogan mesélte fűnek-fának a sikert, ám ezzel azt a téves benyomást keltette, hogy ki akarja sajátítani a bizonyítást, pedig csak – lelkialkatából következően – szét akarta azt szórni a szélbe” – értelmezi Ruzsa Z. Imre akadémikus a vitatott esetet. Mivel Selberghez olyan hírek jutottak vissza, hogy Erdős azt híreszteli, egyedül ő oldotta meg a bizonyítást, úgy megorrolt a magyar matematikusra, hogy meghiúsult a közös publikáció. A köztudatba azonban az eredmény Selberg–Erdős-bizonyításként vonult be.

Atle Selberg, forrás: http://www.math.ntnu.no/Selberg-interview/

Hiába lett meg a várva várt levezetés, nem váltotta be a matematikusok várakozásait. Titokban azt remélték ugyanis, hogy általa közelebb kerülhetnek az úgynevezett Riemann-sejtéshez, melyet még 1859-ben fogalmazott meg Georg Riemann német matematikus. Hipotézise egyike az ezredfordulón az amerikai Clay Matematikai Intézet által megnevezett, egymillió dollárt érő millenniumi problémáknak. „A Riemann-sejtés megadná az egyszerű formában kifejezhető legjobb becslést arra, hogy egy számig hány prímszám található. Ettől elmaradnak a ma ismert jó becslések, és ezek továbbra is csak komplex függvények használatával érhetők el” – mondja Ruzsa Z. Imre. A felvetés jelentőségét jól mutatja, hogy amikor David Hilbert német matematikus 1900-ban a II. Nemzetközi Matematikai Konferencián Párizsban ismertette a matematika legfontosabb megoldatlan problémáit, azt mondta: ha ezeréves álomból felébresztenék, az lenne az első kérdése, bebizonyították-e már a Riemann-sejtést. Hilbert 70 éve halott, megoldás pedig továbbra sincs. Terence Tao szerint „messze vagyunk még, de lehetnek meglepetések. Az ikerprímsejtéssel kapcsolatos legújabb eredményen is nagyon meglepődtem.”

Májusban nagy visszhangot kapott a hír, hogy – legalábbis matematikusszemmel – átütő eredmény született az úgynevezett ikerprímsejtéssel kapcsolatban. A sejtés szerint végtelen sok olyan prímszámpár létezik, melyek különbsége kettő – mint például az 5 és a 7, a 11 és a 13, vagy a 29 és a 31. Az emberiséget ősidők óta foglalkoztató kérdésben Yitang Zhang, a New Hampshire-i Egyetem professzora tett nagy lépést. Eddig ugyanis egyetlen olyan számot sem tudtak mondani, mely különbségként végtelen sokszor előfordulhat prímpárok között. Csang viszont bebizonyította: végtelen sok esetben fordul elő, hogy szomszédos prímek között legfeljebb hetvenmillió a különbség. „Ha megoldasz egy problémát, ha kinyitsz egy ajtót – teszi hozzá Tao –, akkor számtalan újabb tárul eléd. Erdősnek ahhoz volt fantasztikus érzéke, hogy látta, merre kell menni, tudta, hogyan tegyen fel jó kérdéseket.”